nada es impocible

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viernes, 18 de julio de 2014

Funciones pares[editar]

Gráfica de una función par.
X
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Una función par es cualquier función que satisface la relación f(x) = f(-x)\, y si x es del dominio de f entonces -x también.
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).

Definición formal[editar]

El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función f : \mathbb{R}\to \mathbb{R} es una función par si para x\in\mathbb{R} se cumple la siguiente relación:
f(-x) = f(x)\,
La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, los números complejos C), una función par sería toda función:
\begin{array}{rrcl} f : & A & \to & B \\ & a & \to & b = f(a) \end{array}
que cumpla:
\forall a \in A : \quad f(-a) = f(a)
La definición de función par presupone que si a\in A entonces necesariamente -a \in A, de no ser así no se podría definir f(-a).

Ejemplo[editar]

La función:
f(x) = x^2 +1
es par ya que para cualquier valor de x se cumple:
f(-x) = (-x)^2 + 1
f(-x) = (-1 \cdot x)^2 + 1
f(-x) = (-1)^2 \cdot x^2 + 1
f(-x) = 1 \cdot x^2 + 1
f(-x) = x^2 + 1
f(-x) = f(x)
Demostrando que la función es par.
Si x=2, entonces:
f(-2)= (-2)^2 +1 = 4+1 = 5 = 2^2 + 1 = f(2)

Funciones impares[editar]

Gráfica de una función impar

Una función impar es cualquier función que satisface la relación:
f(-x) = -f(x)\,
para todo x en el dominio de f.
Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.
Ejemplos de funciones impares son x, x3, seno(x), sinh(x), y la erf (x).

Ejemplo[editar]

La función:
f(x) = \cfrac{1}{x} \;
es impar, ya que:
f(-x) = \cfrac{1}{-x} = - \cfrac{1}{x} = -f(x)
en este caso la función no está definida en el punto x=0.
Si vemos la función:
f(x) = x^3
Podemos ver que:
f(-x) = (-x)^3
f(-x) = (-1 \cdot x)^3
f(-x) = (-1)^3 \cdot x^3
f(-x) = -1 \cdot x^3
f(-x) = -1 \cdot f(x)
f(-x) = -f(x)
Y esta función si pasa por el punto (0,0).

Características[editar]

Nota: La paridad de una función no implica que sea diferenciable o continua.

Propiedades[editar]

  • La única función que es tanto par e impar es la función constante que es idénticamente cero (o sea f(x) = 0 para todo x).
  • La suma de una función par y una impar no es ni par ni impar, a menos que una de las funciones sea el cero.
  • La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una función par es una función par.
  • La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo constante de una función impar es una función impar.
  • El producto de dos funciones pares es una función par.
  • El producto de dos funciones impares es una función par.
  • El producto de una función par y una función impar es una función impar.
  • El cociente de dos funciones pares es una función par.
  • El cociente de dos funciones impares es una función par.
  • El cociente de una función par y una función impar es una función impar.
  • La derivada de una función par es una función impar.
  • La derivada de una función impar es una función par.
  • La composición de dos funciones pares es una función par, y la composición de dos funciones impares es una función impar.
  • La composición de una función par y una función impar es una función par.
  • la composición de toda función con una función par es par (pero no vice versa).
  • Toda función definida sobre toda la línea real puede descomponerse en la suma de una función par y una impar:
f(x) = f_p(x) + f_i(x) = \left(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\right) + \left(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\right)

Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2).
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2).
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. Fab.gif
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado \left [ a,b\right ]  y derivable en el intervalo abierto \left (a,b\right ).
  1. Si {f}'(x)>0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es creciente en \left [ a,b \right ]
  2. Si {f}'(x)<0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es decreciente en \left [ a,b \right ]
  3. Si {f}'(x)=0 \; \forall x \in \left (a,b\right ), f es constante en \left [ a,b \right ]

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Ejemplo1.gif

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.
La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.
Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:
Ejemplo2.gif

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 + (1 / x2) con x ≠ 0.
La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)] / x3
Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 > 0 y
f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
Tabla.GIF
Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .
Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Grafi3.GIF

Ejemplo 4

Trace la gráfica de la funcion definida por
f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1
Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x = 3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf), y es decreciente en el intervalo [1,3]. Grafica3.jpg
Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando primero la derivada de f:
F(x) = 3x2 − 12x + 9
Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:
3x2 − 12x + 9 = 0
3(x − 3)(x − 1) = 0
x = 3x = 1
Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:
Tabla1.1.jpg
Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.

Ejemplo 5

Sea
f(x) = x^{\frac{4}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}}
Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas gráficamente.
Solucion Al diferenciar f se tiene
F(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3}x^{\frac{-2}{3}}
= \frac{4}{3}x^{\frac{-2}{3}}(x + 1)
Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son -1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:
Tabla2.jpg
La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ − 7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente gráfica Grafica4.jpg

Demostración

Creciente

Supongamos que {f}'(x)>0\; \forall \in \left(a,b\right ) y sean x1 < x2 dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x1 < c < x2, y
\[{f}'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_{2}-x_{1}}\]
Como f'(c) > 0 y
x2 − x1 > 0, sabemos que
\[f(x_2)-f(x_1)>0\]
de donde se deduce que f(x1) < f(x2). Así pues, f es creciente en el intervalo.
PARA DARTE MAS INFORMACIÓN MIREN ESTOS VÍDEOS



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